矩阵论最小二乘解论文

问：矩阵论 求最小二乘解的问题

1. 答：Ax=b的最小二乘解就是线性方程A^TAx=A^Tb的解
   解方程A^TAx=A^Tb就行了
   （A^TA A^Tb）--->化成行最简形式=====》求出解

问：矩阵的最小二乘法，目前有一个方程组，四个方程，三个未知数，怎么求解，需要用最小二乘法吗？

1. 答：四个方程三个未知数求解方法：只能求最小二乘意义下的最优解。 方程：｛aijxj=bi i=1,2,3,4;j=1,2,3｝
   求x1、x2、x3使：Q(x1,x2,x3)＝[b1-(a11x1+a12x2+a13x3)]^2+[b2-(a21x1+a22x2+a23x3)]^2+[b3-(a31x1+a32x2+a33x3)]^2
   +[b4-(a41x1+a42x2+a43x3)]^2 （1） 取最小。为此,令：∂Q/∂x1=∂Q/∂x2=∂Q/∂x3=0 (2)得到一个包含三个未知数：x1、x2、x3的三个方程的线性方程组，解出的x1、x2、x3即为最小二乘意义下的最优解!

问：矩阵的最小二乘法

1. 答：要求W是列满秩矩阵,如果不是,（W^H*W）^(-1)不存在,（2）式无意义,当然得由式（1）是推不出式（2）的,此时需对矩阵W进满秩分解,下面假设W是列满秩矩阵,由V是P=W*V的最小二乘解的充要条件是V满足法方程(正规方程)
   （W^H*W）*V=W^H*P
   {这是重要一个定理,相关书上均有}
   如果长方形矩阵W是列满秩矩阵,才能确保W^H*W的逆阵存在,对上面同乘W^H*W的逆阵,得V=（W^H*W）^(-1)*W^H*P.

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