正交矩阵的性质毕业论文开题报告

问：关于正交矩阵的性质

1. 答：如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。
   
   正交矩阵的性质
   1、逆也是正交阵
   对于一个正交矩阵来说，它的逆矩阵同样也是正交矩阵。
   2、积也是正交阵
   如果两个矩阵均为正交矩阵，那么它们的乘积也是正交矩阵。
   3、行列式的值为正1或负1
   任何正交矩阵的行列式是+1或−1对于置换矩阵，行列式是+1还是−1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。
   4、在复数上可以对角化
   比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有(复数)绝对值1。
   
   5、群性质
   正交矩阵的逆是正交的，两个正交矩阵的积是正交的。事实上，所有n×n正交矩阵的集合满足群的所有公理。它是n(n−1)/2维的紧致李群，叫做正交群并指示为O(n)。
   行列式为+1的正交矩阵形成了路径连通的子群指标为2的O(n)正规子群，叫做旋转的特殊正交群SO(n)。商群O(n)/SO(n)同构于O(1)，带有依据行列式选择[+1]或[−1]的投影映射。

问：正交矩阵定义和性质

1. 答：正交矩阵乘正交矩阵还是正交矩阵，但是正交矩阵相加相减不一定还是正交矩阵。
   正交矩阵的每一个行(列)向量都是模为1的，并且任意两个行(列)向量是正交的，即所有的行(列)向量组成R^n的一组标准正交基。正交矩阵每个元素绝对值都小于等于1，如果有一个元素为1，那么这个元素所在的行列的其余元素一定都为零。
   扩展资料：
   注意事项：
   由于向量组内向量均不为0，只需要在等式两边随便乘上一个向量即可，假设乘的是a1。由于与其他向量两两正交，所以其他项全为0。
   由于a1不为0，那么必然不为0，要使得等式成立，只能是λ1为0。也就是说向量a，在规范正交基下某一个维度的坐标， 等于和整个维度的正交基向量的内积。
   参考资料来源：

问：正交矩阵的性质

1. 答：实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间R的正交规范基，它为真当且仅当它的行形成R的正交基。假设带有正交(非正交规范)列的矩阵叫正交矩阵可能是诱人的，但是这种矩阵没有特殊价值而没有特殊名字；他们只是MM=D，D是对角矩阵。
   一些重要的矩阵分解涉及到了正交矩阵，包括：
   （1）QR分解M=QR，Q正交，R上三角。
   （2）奇异值分解M=UΣV，U和V正交，而且这个Σ非负对角。
   （3）谱分解S=QΛQ，S对称，Q正交，Λ对角。